Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Toplam Alan(ABC) = 12 + 36 = 48 olur. Alanlar oranı Alan(ADE)/Alan(ABC) = 12/48 = 1/4'tür.
Kelebek benzerliğinden AB/CD = AE/ED yazılır. 6/9 = 4/ED bağıntısından ED = 36 elde edilir ve ED uzunluğu 6 cm olarak bulunur.
Kenar dilimleri eşit olduğundan benzerlik oranları sırasıyla 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 olur. Dolayısıyla DE, FG, KL, BC kenar uzunlukları sırasıyla x, 2x, 3x, 4x ile orantılıdır.
D ve E noktaları kenarların orta noktaları olduğundan [DE] doğrusu ABC üçgeninin orta tabanıdır.
Benzerlik oranı AD/AB = 3/5'tir. Alanlar oranı (3/5) kare = 9/25 olur. ADE alanına 9S dersek toplam alan 25S olur.
DE // AC olduğundan BDE üçgeni ile BAC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı: BD / BA = 6 / (6 + 3) = 6/9 = 2/3 olur.
Sokak lambası ve çocuk zemine dik durduğundan birbirine paraleldir. Lambanın ışığıyla oluşan gölgenin ucu, çocuk ve lamba benzer dik üçgenler oluşturur.
Temel benzerlik teoremi uyarınca ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 2 / (2 + 3 + 4) = 2/9 olur.
Simetriden dolayı DE // AB'dir. [AD] açıortay olduğundan |AE| = |DE| = x diyelim.
Temel benzerlik teoremi uyarınca ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 2 / (2 + 3 + 4) = 2/9 olur.
İki benzer üçgenin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir: Çevre(ADE)/Çevre(ABC) = 15/45 = 1/3 olur.
Masanın üst yüzeyi ile yer paralel olduğundan, masanın ayakları arasında bir kelebek (kum saati) benzerliği oluşur.
Soruda verilen oranlar kelebek ve temel benzerlik adımlarıyla çözüldüğünde yükseklikler oranının benzerlik oranına eşitliğinden toplam yükseklik 24 cm olarak hesaplanır.
Alanlar oranı 5/80 = 1/16'dır. Benzerlik oranı alanlar oranının karekökü olduğundan 1/16'nın karekökü 1/4 olarak bulunur.
Benzerlik oranı 1/2 olduğuna göre alanlar oranı bunun karesi olan 1/4 olur. Tüm alan 40 santimetrekaredir.
Thales teoremi uyarınca: AD / DB = AE / EC → (x - 1) / 3 = 4 / x → x(x - 1) = 12 → x² - x - 12 = 0 → (x - 4)(x + 3) = 0 olur.
ABD ve ACD üçgenlerinin A köşesinden tabana çizilen yükseklikleri eşittir. Dolayısıyla Alan(ABD) / Alan(ACD) = 3 ise |BD| / |CD| = 3 olur.
Thales teoremi uyarınca: AD / DB = AE / EC → 4 / 2 = 6 / EC → 2 = 6 / EC → EC = 3 cm bulunur.
Thales teoremine göre AD/DB = AE/EC bağıntısı yazılır. Buradan 5/7 = 10/EC denklemi elde edilir.
DE // FG olduğundan ADE üçgeni ile AFG üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı: |AD| / |AF| = 4 / (4 + 4) = 4/8 = 1/2 olur.
Benzerlik oranı AD/AB = 2/6 = 1/3'tür. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan Alan(ADE)/Alan(ABC) = 1/9 olur.
Benzer iki üçgenin çevreleri oranı, bu üçgenlerin benzerlik oranına eşittir: Çküçük / Çbüyük = 2 / 3 → 18 / Çbüyük = 2 / 3 → Çbüyük = 27 cm bulunur.
DEC ve BAC dik üçgenleri C açısını ortak paylaştıklarından benzerdir: DEC ~ BAC. Benzerlik oranından: DE / AB = EC / BC → 3 / 9 = EC / 12 → 1/3 = EC / 12 → EC = 4 cm olur.
m(BAD) = m(ACB) = x diyelim. ABD dik üçgeni ile CBA dik üçgeninin ikişer açısı eşittir (biri 90°, diğeri x).
I iç teğet çemberin merkezi ise [AI], [BI] ve [CI] iç açıortaylardır. DE // BC olduğundan iç ters açılardan m(DIB) = m(IBC) = m(DBI) olur, yani DIB ikizkenar üçgendir: |DI| = |DB| olur.
Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan iki üçgen birbirine benzerdir.
İki üçgenin ikişer açısı birbirine eşitse bu iki üçgen benzerdir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların birbirine oranına benzerlik oranı denir.
Benzer üçgenlerde bütün karşılıklı kenar çiftlerinin oranı aynı sabit değere eşittir.
Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.
Benzer üçgenlerde karşılıklı yüksekliklerin oranı, benzerlik oranına eşittir.
Benzer üçgenlerin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik, üçgeni kendisine benzer iki üçgene ayırır.
İki paralel kenar arasında kesişen doğruların oluşturduğu ters üçgenler birbirine benzerdir.
Benzer şekillerde uzunluk oranı k ise alan oranı k² olur; hacimde ise k³ kullanılır.