Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
C açısı 90 derece olsaydı 15-20-25 özel dik üçgeninden c = 25 olurdu. C açısı geniş açı yani 90 dereceden büyük olduğu için c kenarı 25'ten büyük olmalıdır.
Üçgen eşitsizliği uyarınca: |12 - 8| < c < 12 + 8 → 4 < c < 20 olur. En küçük tam sayı x = 5, en büyük tam sayı y = 19'dur.
Üçgen eşitsizliğinden c kenarı için: 10 - 8 < c < 10 + 8 → 2 < c < 18 olur. Çevre Ç = 8 + 10 + c = 18 + c'dir.
A açısı 100 derece yani geniş açı olduğundan üçgenin en büyük açısıdır. En büyük açının karşısındaki a kenarı en büyük kenardır.
m(A) > 90° ise geniş açılı üçgen kuralı uygulanır: a² > b² + c² → a² > 6² + 8² → a² > 100 → a > 10 olur.
Bir dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır.
A açısı 90 derece olsaydı 5-12-13 üçgeninden a = 13 olurdu. Geniş açı dendiği için a kenarı 13'ten büyük olmalıdır.
A açısı 90 derece olsaydı 5-12-13 üçgeninin iki katı olan 10-24-26 üçgeninden a = 26 olurdu.
C açısı 90 derece olsaydı c kenarı 17 olurdu. Dar açı olduğu için c küçüktür 17 olmalıdır.
Üçgen eşitsizliğine göre a kenarı 7 - 4 = 3 ile 7 + 4 = 11 arasındadır. Kenarlar tam sayı dendiği için a kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.
Kenarlar x, x+2, x+4 olsun. Çevre 3x+6 olur. 3x+6 büyüktür 30 ise 3x büyüktür 24 ve x büyüktür 8 bulunur.
a > b > c sıralaması ve a + b + c = 15 verilmiştir. Üçgen eşitsizliğine göre a < b + c olmalıdır.
Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi bir kenar (örneğin 12 cm), diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır: 12 < 5 + 5 → 12 < 10 ifadesi yanlıştır.
Üçgen eşitsizliği gereğince, bir kenar uzunluğu çevre uzunluğunun yarısından kesinlikle küçük olmalıdır: x < Çevre / 2 → x < 10 / 2 → x < 5 cm.
C açısı 180 - (75 + 45) = 60 derecedir. Açılar B küçüktür C küçüktür A şeklinde sıralandığı için kenarlar da b küçüktür c küçüktür a şeklindedir.
a > b > c sıralaması, a b c = 72 çarpımı ve a < b + c üçgen eşitsizliğini sağlayan tam sayı üçlülerini arayalım.
Üçgende en uzun kenarın karşısında en büyük açı bulunur. Kenar uzunlukları arasında c = 10 cm en büyük olduğundan, en büyük iç açı da c kenarının karşısındaki C açısıdır.
Üçgen eşitsizliğine göre, iki kenarın farkı üçüncü kenardan küçüktür: a - c < b → a - c < 6 olur.
m(A) > 90° olduğundan geniş açılı üçgen kuralı uygulanır: a² > 9² + 12² → a² > 81 + 144 → a² > 225 → a > 15 olur.
Üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
B açısı 90 derece olsaydı b kenarı 13 olurdu. Dar açı olduğu için b kenarı 13'ten küçüktür.
Kenarlar a, b, c olsun ve a büyük eşit b büyük eşit c sıralaması yapalım. a + b + c = 13 ve a küçüktür b + c olmalıdır.
Üçgen eşitsizliği uyarınca: |7 - 4| < a < 7 + 4 → 3 < a < 11 olur. a kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 4 cm bulunur.
Üçgen eşitsizliği uyarınca: |7 - 3| < x < 7 + 3 → 4 < x < 10 olur. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 9 cm bulunur.
Üçgen eşitsizliğine göre herhangi bir kenar, çevrenin yarısından küçük olmak zorundadır. Çevre 18 ise yarı çevre 9'dur.
m(A) > 90° olduğundan geniş açılı üçgen kuralı uygulanır: a² > 8² + 15² → a² > 64 + 225 → a² > 289 → a > 17 olur.
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
Üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşit, eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir.
Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bunların iki katı ile aradaki açının kosinüsü çarpımı çıkarılarak bulunur.
Bir üçgende her kenarın karşı açısının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına eşittir.
İki kenarı bilinen üçgende üçüncü kenar, bu kenarların farkı ile toplamı arasında bir değer alır.
En büyük kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçükse üçgen dar açılıdır.
En büyük kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen dik açılıdır.
En büyük kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse üçgen geniş açılıdır.
Bir üçgende en küçük kenarın karşısında en küçük açı bulunur.