Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Üçgenin alanı, yarı çevre uzunluğu u ile iç teğet çemberin yarıçapı r'nin çarpımına eşittir.
Sinüslü alan formülü uyarınca: Alan = 1/2 b c sin(A) = 1/2 8 10 sin(135°) = 40 * (√2/2) = 20√2 cm² bulunur.
Alanlar oranının karekökü benzerlik oranını verir. Kök içinde 9 bölü 25 ifadesi 3 bölü 5 olarak dışarı çıkar.
Alan formülü taban·yükseklik bölü 2'dir. Hem taban hem yükseklik 2 katına çıkarsa pay kısmı 4 kat büyür.
Kenar uzunlukları 13, 14, 15 olan üçgenin çevresi 2u = 42 → u = 21 cm'dir. Heron formülünden Alan(ABC) = √(21 8 7 6) = 84 cm² bulunur.
ADC üçgeninde AE/EC = 3/1 olduğundan Alan(ADE) = 3S ve Alan(DEC) = S dersek, Alan(ADC) = 4S olur.
ADE üçgeninin tabanı DE = 4 cm ve bu tabana ait yükseklik, A noktasının BC doğrusuna olan uzaklığı olan 9 cm'dir.
Ağırlık merkezi G köşelere birleştirildiğinde oluşan GAB, GBC ve GAC üçgenlerinin alanları birbirine eşittir: Alan(GAB) = Alan(GBC) = Alan(GAC) = S'tir.
Bir üçgende açıortay çizgisi, karşı kenarı kolların uzunlukları oranında böler. |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 8 / 12 = 2 / 3 olur.
Öklit bağıntısına göre yüksekliğin karesi ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. h kare eşittir 4·9 yani 36 olur.
Açıortay teoreminden BD / CD = AB / AC = 8 / 12 = 2/3 olur. Yükseklikleri ortak olan ABD ve ADC üçgenlerinin alanları tabanları ile orantılıdır: Alan(ABD) = 2S, Alan(ADC) = 3S olur.
İlk tabana T, ilk yüksekliğe Y diyelim. İlk alan TY/2 olur. Yeni taban 2 T, yeni yükseklik 8 Y olur.
Eşkenar üçgenin alanı a kare kök 3 bölü 4 formülüyle hesaplanır. 10'un karesi 100 yapar, 100 kök 3 bölü 4 işleminden alan 25 kök 3 santimetrekare olarak bulunur.
ABC üçgeninin alanı 7·8 bölü 2 işleminden 28 santimetrekare bulunur. KLM dik üçgeninin alanı da 28 olmalıdır.
Dik kenarlara x ve x artı 2 dersek alan x·(x artı 2) bölü 2 eşittir 24 olur. Buradan x·(x artı 2) eşittir 48 denkleminden x sayısı 6 bulunur.
Açıortay teoreminden BD / CD = AB / AC = 8 / 12 = 2/3 olur. Yükseklikleri ortak olan ABD ve ADC üçgenlerinin alanları tabanları ile orantılıdır: Alan(ABD) = 2S, Alan(ADC) = 3S olur.
Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının uzunlukları çarpımının yarısına eşittir: Alan = (8 * 15) / 2 = 120 / 2 = 60 cm² bulunur.
Karton [DE] boyunca katlandığında çift katlı bölge katlanan A'DE üçgenidir. Katlanmadan önce bu bölge ADE üçgeniydi.
ABD ve ACD üçgenlerinin A noktasından tabana çizilen yükseklikleri ortaktır. Dolayısıyla alanları oranı tabanları oranına eşittir: Alan(ABD)/Alan(ACD) = BD/CD olur.
Bisikletlilerin 2 saat sonra aldıkları yolları (üçgenin kenar uzunluklarını) bulalım: |AB| = 6 km/saat × 2 saat = 12 km |AC| = 8 km/saat × 2 saat = 16 km Aralarındaki açı m(BAC) = 120° dir.
A köşesinden BC'ye [AH] yüksekliğini indirelim. AH = h olsun. ABH dik üçgeni 45-45-90 olduğundan BH = h olur.
En üstteki üçgen ile büyük ABC üçgeni benzerdir. Alanları oranı 1 / 3'tür. Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan: k² = 1/3 → k = 1/√3 olur.
Kenarortay doğrusu üçgenin alanını iki eş parçaya böler: Alan(ABC) = 2 Alan(ABD) = 2 8 = 16 cm² bulunur.
A ortak açısı kullanılarak sinüslü alan yazılırsa: Alan(ADE) / Alan(ABC) = (1/2 AD AE sin(A)) / (1/2 AB AC sin(A)) = (AD / AB) (AE / AC) = 1/3 2/5 = 2/15 bulunur.
Bir üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısı ile bulunur. Hipotenüs taban olarak alındığında alan 10·4 bölü 2 formülünden 20 santimetrekare olur.
Sinüslü alan formülü uyarınca: Alan = 1/2 b c sin(A) = 1/2 8 10 sin(135°) = 40 * (√2/2) = 20√2 cm² bulunur.
Bir üçgenin alanı, bir taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Bir üçgenin alanı, iki kenar ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
Kenarları bilinen üçgenin alanı, kök içinde u çarpı u eksi a çarpı u eksi b çarpı u eksi c dir; u yarı çevredir.
Tabanları ve o tabanlara ait yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları birbirine eşittir.
Bir kenarortay, üçgeni alanları birbirine eşit iki üçgene böler.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Üçgenin alanı, iç teğet çemberin yarıçapı ile yarı çevrenin çarpımına eşittir.
Üçgenin alanı, üç kenarın çarpımının dört çarpı çevrel çember yarıçapına bölümüne eşittir.
Yükseklikleri ortak olan iki üçgenin alanları oranı, tabanlarının oranına eşittir.
Ağırlık merkezi köşelerle birleştirildiğinde üçgen, alanları eşit üç bölgeye ayrılır.