Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Maksimum hacimli silindirin yüksekliği koni yüksekliğinin 1/3'ü olan hs = 4 cm'dir. Yarıçapı ise benzerlikten rs = 2/3 Rkoni = 2/3 5 = 10/3 cm olur.
Adım adım çözüm: Koninin tüm yüzey alanı taban alanı (pi 3 kare = 9 pi) ve yanal alanın (pi 3 * 5 = 15 pi) toplamıdır.
Adım adım çözüm: Toplam alan = 2 pi r kare + 2 pi r h = 24 pi şeklindedir. r = 2 için 8 pi + 4 pi h = 24 pi olur, buradan 4 pi h = 16 pi ve h = 4 santimetre bulunur.
Koni yarıçapı r = 3 cm, yüksekliği h = 4 cm ise ana doğrusu a = 5 cm'dir. Tüm yüzey alanı A = π r a + π r² = π 3 5 + π 3² = 15π + 9π = 24π cm²dir.
Adım adım çözüm: Hacim V = pi r kare 6 = 54 pi ise r kare = 9 ve r = 3 cm bulunur. Taban çevresi = 2 pi r = 2 pi 3 = 6 pi santimetre olur.
Vsilindir = π 3² 8 = 72π. Vkoni = 1/3 π 6² hkoni = 12π hkoni. Hacimler eşit olduğundan 72π = 12π * hkoni → hkoni = 6 cm bulunur.
Yarım daire çapı etrafında 360 derece döndürüldüğünde tam bir küre oluşur. Yarıçapı R = 10 cm olan bu kürenin hacmi V = 4/3 π R³ = 4/3 π 10³ = 4000/3 * π cm³tür.
Koninin açınımında merkez açı formülü theta = 360 (r / a)'dır. Burada theta = 180 derece olduğundan: 180 = 360 (r / a) → r / a = 1/2 bulunur.
Dik koninin hacmi V = 1/3 π r² h = 1/3 π 3² 4 = 1/3 9π 4 = 12π cm³tür.
Adım adım çözüm: Koninin yüksekliği h = 2r dir. Hacim V = 1/3 pi r kare 2r = 2/3 pi * r küp = 18 pi olur.
Adım adım çözüm: Eşkenar üçgen yüksekliği etrafında 360 derece dönseydi koni oluşurdu. 180 derece döndüğü için yarım koni oluşur.
Adım adım çözüm: Karenin döndürülmesiyle r = 4 cm ve h = 4 cm olan bir silindir oluşur. Toplam alanı = 2 pi r h + 2 pi * r kare = 32 pi + 32 pi = 64 pi olmalıdır.
Adım adım çözüm: Hacim yarıçapın karesi ve yükseklikle doğru orantılıdır. Yarıçap yarıya inince karesinden ötürü 1/4 olur yükseklik 3 katına çıkınca 3 * 1/4 = 3/4 katına iner.
Adım adım çözüm: Tam kürenin hacmi V = 4/3 pi 6'nın küpü = 288 pi olur. Yarım kürenin hacmi bunun yarısı olacağından 288 pi / 2 = 144 pi santimetreküp bulunur.
Adım adım çözüm: Kürenin yarıçapı ve uzaklığı dik üçgen oluşturur (5-12-13 üçgeni). Kesit dairesinin yarıçapı r = 5 cm bulunur.
Adım adım çözüm: Tepe noktasından kesildiğinde oluşan eksen kesiti bir üçgendir. Bu üçgenin tabanı koninin çapı yani 2 2 = 4 cm yüksekliği ise koninin yüksekliği olan 6 cm'dir.
Kürenin yüzey alanı A = 4 π R² ve hacmi V = 4/3 π R³'tür. Alanın hacme oranı A / V = (4 π R²) / (4/3 π R³) = 3 / R'dir.
Kürelerin hacimleri oranı, yarıçapları oranının küpüne eşittir: V1 / V2 = (r1 / r2)³ = (3 / 6)³ = (1/2)³ = 1/8'dir.
Adım adım çözüm: Kürenin merkezinden silindirin üst tabanına olan mesafe yüksekliğin yarısı yani 3 cm olur.
Silindirin başlangıçtaki yarıçapı r, yüksekliği h olsun. İlk hacim: V₁ = πr²h'dir. Yarıçap 2 katına çıkarıldığında yeni yarıçap 2r, yükseklik yarıya indirildiğinde yeni yükseklik h/2 olur.
Adım adım çözüm: Yarıçap 2 katına çıktığında karesinden ötürü hacim 4 katına çıkar. Yeni Hacim = 24 pi * 4 = 96 pi santimetreküp bulunur.
Silindir eğildiğinde, dökülen suyun hacmi, üst kısımda oluşan ve yüksekliği silindirin çapına eşit olan yarım silindirin hacmine eşittir.
Adım adım çözüm: Kürenin hacim formülü V = 4/3 pi r küp şeklindedir. r = 3 için r küp = 27 olur.
Adım adım çözüm: Üçgenin diğer dik kenarı 4 cm'dir. 3 cm lik kenar etrafında dönme sonucu r = 4 cm ve h = 3 cm olan bir koni oluşur.
Adım adım çözüm: Silindirin hacmi V1 = pi 16 6 = 96 pi olur. Bir koninin hacmi V2 = 1/3 pi 4 * 3 = 4 pi olur.
Kürenin hacmi V = 4/3 π r³ = 4/3 π 3³ = 4/3 * 27π = 36π cm³tür.
Yarıçapı r olan kürenin hacmi 4 bölü 3 pi r küp tür.
Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4 pi r kare dir.
Bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşan cisme dönel cisim denir.
Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle silindir oluşur.
Bir dik üçgenin bir dik kenarı etrafında döndürülmesiyle koni oluşur.
Bir yarım dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle küre oluşur.
Taban yarıçapı r ve ana doğrusu l olan koninin yanal alanı pi r l dir.
Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan koninin hacmi pi r kare h bölü 3 tür.
Silindirin tüm yüzey alanı 2 pi r çarpı r artı h ifadesine eşittir.
Koninin ana doğrusu, yükseklik ve taban yarıçapı ile kök içinde h kare artı r kare dir.