İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Her eleman küme içine sadece bir kez yazılır.
Bir eleman kümenin içinde aynen bulunuyorsa o kümenin elemanıdır. Küme parantezi ile eklenip çıkarılamaz.
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir, sembolü süslü parantez içi boş ya da üstü çizili o harfidir.
İçinde sadece boş küme sembolü bulunan küme, boş küme değildir; bir elemanlı bir kümedir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin tam olarak 2 üzeri n tane alt kümesi vardır.
Bir kümenin kendisi hariç diğer tüm alt kümelerine öz alt küme denir ve sayısı (2 üzeri n) eksi 1 dir.
'a' elemanıdır A diyorsak, alt kümesi olarak yazarken mutlaka süslü parantez içinde {a} alt kümesidir A yazmalıyız.
Boş küme, her kümenin (kendisinin de dahil) daima bir alt kümesidir.
Her küme, yine kendisinin bir alt kümesidir.
Bir kümenin alt kümelerinin kaçında a bulunur sorusunun cevabı ile kaçında a bulunmaz sorusunun cevabı aynıdır ve 2 üzeri (n-1)'dir.
Alt kümelerin kaçında a elemanı var ama b elemanı yok deniyorsa, her ikisi de kümeden atılır, kalanlarla 2 üzeri (n-2) hesaplanır.
A veya B bulunur sorusunun en kolay çözümü; tüm alt kümelerden (2 üzeri n), ne A'nın ne de B'nin bulunmadığı alt kümeleri çıkarmaktır.
A kesişim B, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanların oluşturduğu yepyeni bir kümedir.
A birleşim B kümesi, iki kümedeki tüm elemanların bir araya gelmesiyle oluşur, ortak elemanlar sadece bir kez yazılır.
s(A birleşim B) = s(A) + s(B) - s(A kesişim B) formülü tüm küme problemlerinin temel anahtarıdır.
s(A birleşim B birleşim C), üç kümenin tek tek toplamından ikili kesişimlerin çıkarılıp, üçlü kesişimin eklenmesiyle bulunur.
A fark B (A - B), sadece A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur (sadece A da diyebiliriz).
A fark B kümesi matematiksel olarak A kesişim (B'nin tümleyeni) şeklinde de yazılabilir ve bu çok sık test edilir.
Üzerinde işlem yapılan tüm elemanları ve diğer tüm kümeleri kapsadığı varsayılan en geniş kümeye E evrensel kümesi denir.
A'nın tümleyeni (A'), evrensel kümede olup A'nın içinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümedir.
Bir kümenin kendisi ile kendi tümleyeninin kesişimi daima boş kümedir, hiçbir ortak noktaları yoktur.
Bir A kümesi ile onun tümleyeni (A') birleşirse daima Evrensel (E) kümeyi oluştururlar. s(A) + s(A') = s(E).
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni yine kümenin ta kendisidir ((A')' = A).
(A birleşim B)'nin parantez dışı tümleyeni, A'nın tümleyeni KESİŞİM B'nin tümleyeni şekline dönüşür.
(A kesişim B)'nin parantez dışı tümleyeni, A'nın tümleyeni BİRLEŞİM B'nin tümleyeni halini alır.
Ortak hiçbir elemanı olmayan (kesişimleri boş küme olan) iki kümeye ayrık kümeler denir. Birleşimleri sadece s(A)+s(B)'dir.
Eğer A kümesi B'nin alt kümesi ise, A ile B'nin kesişimi küçük olan kümeye yani doğrudan A'ya eşittir.
Eğer A kümesi B'nin alt kümesi ise, A ile B'nin birleşimi kapsayan büyük kümeye yani B'ye eşittir.
Küme problemlerinde Venn şeması çizip, sadece A, sadece B, ortak ve dışarıda kalan şeklinde bölgelere isim (x,y,z,t) vererek denklemi kur.
Problemlerde 'A veya B dilini konuşanlar' ifadesi, A kümesi ile B kümesinin BİRLEŞİMİNİ ifade eder (ikisini birden konuşanlar dahildir).
Problemlerde 'A ve B dilini konuşanlar' dendiğinde, bu iki dilin KESİŞİM bölgesindeki (her ikisini de bilen) kişiler kastedilir.
Sınıftaki öğrencilerden 'en az birini bilenler' dendiğinde, bu A birleşim B kümesinin ta kendisidir (hiç bilmeyenler hariçtir).
'En çok bir dil bilenler' demek; sadece A'yı bilenler, sadece B'yi bilenler ve hiçbirini bilmeyenlerin (dışarıdakilerin) toplamıdır. Ortak kesişim alınmaz.
Hiçbirini bilmeyen veya sevmeyen grup, Venn şemasında kümelerin dışındaki evrensel küme alanına (birleşimin tümleyeni) yazılır.
'Sadece bir dil bilenler' ifadesi, (A fark B) ile (B fark A) bölgelerindeki kişi sayılarının toplamıdır.
Problemlerde geçen 'Her ikisini de bilen / olan' kelimesi şemada iki yuvarlağın tam ortasına, kesişim bölgesine yazılmalıdır.
Sadece A'ya x, kesişime y, sadece B'ye z, dışarıya t deyip denklem kurmak en karmaşık soruları bile basit toplama çıkarımına çevirir.
Kesişimin birleşim üzerine, birleşimin de kesişim üzerine tıpkı çarpmadaki gibi dağılma özelliği vardır.
A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı (A x B), birinci elemanı A'dan, ikinci elemanı B'den alınan tüm (x,y) sıralı ikililerinden oluşur.
A kartezyen B'nin eleman sayısı, basitçe A'nın eleman sayısı ile B'nin eleman sayısının çarpımına eşittir (s(A).s(B)).