Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Denklemi |x| kare - 4|x| + 3 = 0 olarak yazıp |x| = t (t ≥ 0) dönüşümü yapalım: t kare - 4t + 3 = 0 → (t-3)(t-1) = 0 → t = 3 veya t = 1 olur.
Baş katsayısı 2 olan denklemi çarpanlarına ayıralım: 2x kare → 2x·x -3 → 1·(-3) şeklinde çapraz kontrol edelim: 2x·(-3) + x·1 = -6x + x = -5x (ortadaki terimi verir).
- C) 2x kare - 5x + 3 = 0: Kökler toplamının rasyonel olarak hatalı hesaplanmasıdır. - E) x kare - 7x + 3 = 0: Payda eşitleme işleminin yapılmaması durumudur.
İfadenin ikinci dereceden denklem olması için x küp terimi bulunmamalıdır. Yani: m kare - 16 = 0 → m = 4 veya m = -4 olmalıdır.
Bir z = a + bi karmaşık sayısında: Reel kısım: Re(z) = a = 4'tür. Sanal (imajiner) kısım: Im(z) = b = -3'tür (sanal kısım alınırken i birimi dahil edilmez).
Değişken değiştirelim: t = 2 üzeri x (t > 0 olmalı) olsun. Bu durumda 4 üzeri x = t kare olur.
Denklem: x kare - 5x - 5 = Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 2x kare - 3x - 9 = 0 elde edilir.
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alalım: 2(x üzeri 2 x) = 2(16) Logaritma özelliğinden üst başa çarpım olarak geçer: (2 x)·(2 x) = 4 → (2 x) kare = 4 elde edilir.
Bilinmeyen karmaşık sayıya z = x + iy diyelim. Mutlak değeri |z| = karekök(x kare + y kare) olur (bu bir reel sayıdır).
Çakışık (eşit/çift katlı) iki reel kökün olması, diskriminantın sıfır olmasıyla mümkündür (Δ = 0).
İfadeyi payda eşitleyerek yazalım: (x1 kare + x2 kare)/((x1x2) kare) olur. dir.
Bu iki koşulu ortak sağlayan m değeri m = -3'tür (m = 3 değeri m < 2 koşulunu sağlamadığı için elenir, çünkü m=3 için sabit terim pozitif olur ve zıt işaretli reel kök oluşmaz).
Köklerin geometrik dizinin terimleri olduğunu biliyoruz. O halde ortak çarpan r olmak üzere (r > 1 çünkü artan geometrik dizi): x1 = a, x2 = ar, x3 = ar kare, x4 = ar küp olsun.
Denklemin her iki tarafındaki 8/x-2 ifadeleri sadeleştirilirse, x = 2 eşitliği elde edilir.
Gerçek katsayılı denklemin bir kökü 1 + 2i ise, diğer kökü eşleniği olan 1 - 2i olmalıdır.
Kökleri verilen ikinci dereceden denklem: x kare - Tx + Ç = 0 formülüyle yazılır. Burada T kökler toplamı, Ç kökler çarpımıdır.
Denklem yapısı x kare - (x1+x2)x + x1x2 = 0 şeklindedir. - C) 5: b değerinin pozitif (1) alınması hatasıdır.
Kökler çarpımı formülünü uygulayalım: x1·x2 = c/a = Verilen x1 = x2 kare bağıntısını yerine yazalım: x2 kare·x2 = 27 → x2 küp = 27 → x2 = 3 bulunur.
Denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -15, toplamları +2 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar +5 ve -3'tür.
- C) 8: İşlem hatası içeren sonuçtur. - D) 12: Kökler çarpımındaki payda olan 2'ye bölmenin unutulması durumudur (3·4 = 12).
Denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması iki şekilde mümkündür: 1) Payın diskriminantı sıfır olmalıdır (Δ = 0): a kare - 4·1·15 = 0 → a = ± karekök(60) (tam sayı değildir).
Değişken değiştirelim: t = 3 üzeri x (t > 0) olsun. Denklem: t kare - 10t + 9 = 0 olur. Çarpanlarına ayıralım: (t-9)(t-1) = 0 → t = 9 veya t = 1 bulunur.
İfadenin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için değişkenin en büyük üssü 2 olmalıdır.
Mutlak değerli ifadeyi kritik noktasına (x=3) göre inceleyelim: 1) x ≥ 3 için: |x-3| = x-3 olur.
Diskriminant formülü Δ = b kare - 4ac'dir. Verilen denklemde a = 1, b = 10 ve c = 25 değerlerini formülde yerine yazalım: Δ = 10 kare - 4·1·25 = 100 - 100 = 0 bulunur.
Verilen denklem aslında bir tam karedir. İnceleyelim: x kare - 2karekök(5)x + 5 = (x - karekök(5)) kare = 0 şeklindedir.
ax kare + bx + c = 0 biçimindeki denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a sıfırdan farklıdır.
Delta = b kare eksi 4ac ifadesine diskriminant denir; köklerin durumunu belirler.
Delta sıfırdan büyükse denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
Delta sıfıra eşitse denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vardır.
Delta sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökü yoktur.
Kökler x = (-b artı eksi karekök delta) / 2a formülüyle bulunur.
Denklemin köklerinin toplamı -b / a değerine eşittir.
Denklemin köklerinin çarpımı c / a değerine eşittir.
Denklem çarpanlarına ayrılıp her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
Denklem tam kareye tamamlanarak da çözülebilir; kök formülü bu yolla türetilir.