Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
abc + bca + cab = 111(a+b+c) olur. Verilen değer yerine yazılırsa: 111(a+b+c) = 1998 \→ a+b+c = 18 bulunur.
Basamak çözümlemesini yapalım: abc - (a+b+c) = 100a + 10b + c - a - b - c = 99a + 9b = 9(11a+b).
Bir sayıdaki değişim: 1000·(1) + 100·(-4) + 10·(2) = 1000 - 400 + 20 = +620 (620 artar) olur.
abc - cba = 99(a-c) = 594 \→ a-c=6 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısı için a=9 \→ c=3 olur.
Sayımız 1000'e yakın bir üç basamaklı sayı olmalıdır (n = abc). Rakamlar toplamı S(n) ≤ 9+9+9 = 27 ve S(S(n)) ≤ 9 olacağından, n = 1000 - S(n) - S(S(n)) ≥ 1000 - 27 - 9 = 964 olur.
abc - cba = 99(a-c) = 198 \→ a-c=2 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısını oluşturmak için yüzler basamağı en büyük değer olan a=9 seçilir.
Soruda 2b = a+c koşulu verilmiştir. Bu koşulun sağlanması için a+c toplamı çift sayı olmak zorundadır.
Soruda a > b > c sıralaması istenmektedir. Bu durumda birler basamağı c = 0 olabilir. Rakamlarımızı {0, 1, 2, \..., 9} kümesinden seçeceğiz.
Yüzler basamağındaki rakam 2 yerine 6 okunduğu için sayı (6-2)·100 = +400 (yani 400 fazla) okunmuştur.
Aynı yöntemle çözelim: a+b = 9 koşulu (binler basamağı a ≠ 0): (a,b) çiftleri: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0) olmak üzere 9 tanedir.
Çözümleme yapılırsa: 10a + b = 3(a+b) + 3 \→ 10a + b = 3a + 3b + 3 \→ 7a = 2b + 3 elde edilir.
Bir sayıdaki değişim: 100·(2) + 10·(-3) + 1·(-4) = 200 - 30 - 4 = +166 (166 artar) olur. 10 sayı olduğundan, toplamdaki net değişim: 10·166 = 1660 artar.
Sorudaki cebirsel ifadeyi basitleştirmek için çarpanlara ayırma özdeşliklerinden faydalanalım.
abc - cba = 99(a-c) = 693 \→ a-c=7 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısı için a=9 \→ c=2 olur.
Çözümleme yapılırsa: 10a + b = 4(a+b) + 6 \→ 10a + b = 4a + 4b + 6 \→ 6a = 3b + 6 \→ 2a = b + 2 elde edilir.
Hatalı işlem: AB·(4+2) = AB·6 = 180 \→ AB = 30 bulunur. Doğru sonuç: 30·42 = 1260 olur. dir.
Bir sayıdaki değişim: 100·(2) + 10·(-4) + 1·(3) = 200 - 40 + 3 = +163 (yani 163 artar) olur.
Bir sayıdaki değişim: 100·(-2) + 10·(5) + 1·(-1) = -200 + 50 - 1 = -151 (151 azalır) olur.
Hatalı işlem: AB·(1+6) = AB·7 = 105 \→ AB = 15 bulunur. Doğru sonuç: 15·16 = 240 olur. dir.
Bir sayıdaki değişim: 100·(1) + 10·(-6) + 1·(2) = 100 - 60 + 2 = +42 (42 artar) olur. 12 sayı olduğundan, toplamdaki net değişim: 12·42 = 504 artar.
Birler basamağındaki rakam 4 yerine 9 okunduğu için sayı (9-4)·1 = +5 (yani 5 fazla) okunmuştur.
ab + ba = 11(a+b) = 132 \→ a+b=12 bulunur. Verilen denklem sistemi çözülürse: a+b=12 ve a-b=2 taraf tarafa toplanırsa: 2a = 14 \→ a = 7 bulunur.
ab - ba = 9(a-b) = 27 \→ a-b=3 bulunur. En büyük ab sayısı için a=9 \→ b=6 olup en büyük sayı 96'dir.
abc - cba = 99(a-c) = 594 \→ a-c=6 bulunur. Denklem sistemini çözelim: a+c=10 ve a-c=6 taraf tarafa toplanırsa: 2a = 16 \→ a = 8 bulunur.
Hatalı işlem: AB·(3+6) = AB·9 = 216 \→ AB = 24 bulunur. Doğru sonuç: 24·36 = 864 olur. dir.
Kaydırma hatası yapıldığında ikinci satır onlar basamağındaki katsayı (20) ile değil, sadece rakam değeri (2) ile çarpılmış olur.
Bir rakamın bulunduğu basamağa göre kazandığı değere basamak değeri denir. 253 sayısında 5'in basamak değeri 50'dir.
Bir rakamın kendi değerine sayı değeri denir ve basamağa bağlı değildir. 253 sayısında 5'in sayı değeri 5'tir.
Onlar basamağı a, birler basamağı b olan iki basamaklı sayı 10a + b biçiminde çözümlenir.
Yüzler a, onlar b, birler c ise üç basamaklı sayı 100a + 10b + c olarak yazılır.
Bir sayının rakamları 0 ile 9 arasındadır. Soldaki ilk basamak 0 olamaz, yoksa basamak sayısı azalır.
İki basamaklı ab ve ba sayılarının farkı 9 çarpı (a eksi b) sonucunu verir; fark daima 9'un katıdır.
Bir sayının rakamları toplamı ile sayının kendisi farklı kavramlardır. 34 sayısının rakamları toplamı 7'dir.
Ardışık tam sayılar 1'er artar. n ile başlayan üç ardışık sayı n, n+1, n+2 biçiminde yazılır.
Çift sayı 2k, tek sayı 2k+1 biçiminde gösterilir. Burada k bir tam sayıdır.
Onluk tabanda her basamak 10'un bir kuvvetidir. Sağdan sola birler, onlar, yüzler biçiminde büyür.