Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, o noktaya yaklaşırken aldığı değerdir; fonksiyonun o noktada tanımlı olması şart değildir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, değişken o noktaya yaklaştıkça fonksiyon değerinin yaklaştığı sayıdır.
Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitler eşit olmalıdır; bu iki tek yanlı limit farklıysa limit yoktur.
Fonksiyon o noktada tanımlıysa limit çoğu zaman değeri doğrudan yerine koyarak bulunur.
Sıfır bölü sıfır gibi belirsiz sonuçlar çarpanlara ayırma veya sadeleştirme gibi yöntemlerle giderilir.
Değişken çok büyüdüğünde fonksiyonun yaklaştığı değer sonsuzdaki limittir ve yatay asimptotu belirler.
Bir fonksiyon bir noktada sürekliyse; o noktada tanımlıdır, limiti vardır ve limit ile fonksiyon değeri eşittir.
Fonksiyon bir noktada tanımsızsa, limiti yoksa ya da limit ile değer farklıysa o noktada süreksizdir.
Bütün polinom fonksiyonları her gerçek sayıda süreklidir; limitleri yerine koyma ile bulunur.
Rasyonel fonksiyon paydayı sıfır yapan noktalarda tanımsızdır; bu noktalar düşey asimptot verebilir.
Bir fonksiyon iki fonksiyon arasında sıkışmışsa ve alttaki ile üstteki aynı limite gidiyorsa ortadaki de aynı limite gider.
x = π/2 için 0/0 belirsizliği vardır. Değişken değiştirme yapalım: u = (π)/2 - x olsun. x → (π)/2 iken u → 0 olur.
Payda → 1^+ |x-1| ifadesi için x > 1 olduğundan |x-1| = x-1 olur.
Rasyonel bir ifadenin limitini bulurken öncelikle paydanın sıfır olup olmadığına bakılır. x=3 için payda 3-1=2 ≠ 0'dır.
Sıkıştırma (Sandviç) Teoremi'ne göre, eğer bir x0 noktasının komşuluğunda g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ise ve → x0 g(x) = → x0 h(x) = L ise, → x0 f(x) = L olur.
Süreksizlik yaratan noktalar, fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerdir. Fonksiyon bu noktalarda sürekli olamaz.
Sadeleştirirsek: → 2 -1{(x + 2)(3 + karekök(x + 7))} = -1/((4)(3 + 3)) = -1/24 Buradan b = -1/24 olur.
Üçgenin alanını (S) ve yarıçevre uzunluğunu (u) bulalım: 1) Yüksekliği (h) dik indirerek bulalım: h = karekök(25 - x kare/4).
Kritik nokta x=4'tür. x → 5 limiti araştırılırken 5 > 4 olduğundan fonksiyonun alt dalı olan 2x-3 kullanılır: → 5 f(x) = 2(5) - 3 = 7 dir.
x=3 yazıldığında 0/0 belirsizliği oluşur.
Çemberin merkezini O olarak alalım. AB kirişinin orta noktası M olsun. Kiriş uzunluğu x olduğundan |AM| = x/2 olur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sol limitinin, sağ limitinin ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
x=-2 için pay ve payda sıfır olur (0/0). Çarpanlara ayıralım: → -2 ((x - 2)(x + 2))/(x + 2) = → -2 (x - 2) = -2 - 2 = -4 dir.
Limitin lineerlik özelliği gereği, → a [c1 f(x) + c2 g(x)] = c1 → a f(x) + c2 → a g(x) yazılabilir.
Ara Değer (Intermediate Value) Teoremi'ne göre, kapalı [a, b] aralığında sürekli bir f fonksiyonu, f(a) ile f(b) arasındaki her değeri en az bir kez alır.
Limit ve süreklilik çalışırken ana odak sayısal akıl yürütme kurmaktır; önce kavramı, sonra tipik soru dilini ayır.