Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Karmaşık sayı a artı bi biçimindedir; a gerçek kısım, b sanal kısımdır. i sanal birim olup i karesi eksi 1 e eşittir.
Sanal birim i nin kuvvetleri dörtlü döngü izler: i, eksi 1, eksi i, 1. Kuvvet 4 e bölününce kalana göre değer bulunur.
a artı bi karmaşık sayısının eşleniği a eksi bi dir. Bir sayı ve eşleniği çarpıldığında sonuç a kare artı b kare gerçek sayısıdır.
Karmaşık sayılar toplanırken gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır.
İki karmaşık sayı dağılma özelliğiyle çarpılır ve i karesi eksi 1 alınarak sadeleştirilir.
a artı bi sayısının modülü, orijine uzaklığıdır ve kök (a kare artı b kare) formülüyle bulunur; her zaman negatif olmayan bir sayıdır.
Karmaşık sayılar, yatay ekseni gerçek kısım düşey ekseni sanal kısım olan düzlemde bir nokta olarak gösterilir.
Karmaşık sayılarda bölme, pay ve payda paydanın eşleniğiyle çarpılarak yapılır; böylece payda gerçek sayıya dönüşür.
Karmaşık sayı r çarpı (kosinüs teta artı i sinüs teta) biçiminde yazılabilir; r modül, teta ise argümandır.
Diskriminant negatif olduğunda ikinci dereceden denklemin kökleri eşlenik karmaşık sayılar çifti olarak gelir.
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri karmaşık sayı ise, diğer kök mutlaka onun eşleniğidir.
Paydayı (3+4i) ile çarpalım: z = 25/(3 - 4i) = (25·(3 + 4i))/((3 - 4i)(3 + 4i)) = (25(3 + 4i))/(3 kare + 4 kare) = (25(3 + 4i))/25 = 3 + 4i bulunur.
dir. - B) -3+2i ve D) -3-2i: Reel kısımda veya sanal kısımda yapılan işaret dağıtma hatalarıdır.
- C) 1 ve D) -1: Sadeleştirme sırasında sanal kısmın kaybolduğu varsayımıdır. - E) 2i: Paydanın sadeleşmediğinin düşünülmesi durumudur.
Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 14 - z1·z2 = 58 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2) kare - 2z1 z2)/(z1·z2) = (14 kare - 2·58)/58 = (196 - 116)/58 = 80/58 = 40/29 bulunur.
dir. - C) -5+i ve D) -5-i: İşaret dağıtımında yapılan hatalardır. - E) 26: Bölme işleminin yapılmaması hatasıdır.
Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 12 - z1·z2 = 45 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2) kare - 2z1 z2)/(z1·z2) = (12 kare - 2·45)/45 = (144 - 90)/45 = 54/45 = 6/5 bulunur.
dir. - E) 10: Bölme işleminin yapılmayıp doğrudan sağdaki terimin seçilmesi hatasıdır.
100 sayısı 4'e tam bölündüğü için (100 = 4·25), bu 100 terim dörderli gruplara ayrıldığında her bir grubun toplamı 0 olur.
Paydayı (7+i) ile çarpalım: z = 50/(7 - i) = (50(7 + i))/((7 - i)(7 + i)) = (50(7 + i))/(7 kare + 1 kare) = (50(7 + i))/50 = 7 + i bulunur.
dir. - B) -4+i ve C) -4-i: Katsayı ve işaret dağıtırken yapılan hata sonucu oluşurlar. - E) 17: Eşitliğin sağındaki sayının sadeleştirme yapılmadan doğrudan yazılmasıdır.
Paydayı (5+3i) ile çarpalım: z = 34/(5 - 3i) = (34·(5 + 3i))/((5 - 3i)(5 + 3i)) = (34(5 + 3i))/(5 kare + 3 kare) = (34(5 + 3i))/34 = 5 + 3i bulunur.
z'yi bulmak için paydayı eşleniği (1-3i) ile genişletelim: z = 10/(1 + 3i) = (10·(1 - 3i))/((1 + 3i)(1 - 3i)) = (10(1 - 3i))/(1 kare + 3 kare) = (10(1 - 3i))/10 = 1 - 3i bulunur.
İfadeyi iki farklı yoldan çözebiliriz. - D) 2 ve E) -2: Sanal birimlerin sadeleştirilirken reel sayılara dönüştürülmesi hatasıdır.
Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 12 - z1·z2 = 40 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2) kare - 2z1 z2)/(z1·z2) = (12 kare - 2·40)/40 = (144 - 80)/40 = 64/40 = 8/5 bulunur.
Karmaşık sayılar çalışırken ana odak sayısal akıl yürütme kurmaktır; önce kavramı, sonra tipik soru dilini ayır.